Analyse et algèbre linéaire
L’analyse numérique est l’étude des méthodes permettant d’évaluer numériquement des nombres, des
fonctions …. C’est un outil essentiel pour l’ingénieur. La modélisation de la majorité des situations
réelles (le classement des pages web, le traitement d’images, l’optimisation de formes, le transfert de la chaleur, les écoulements …) conduit à des problèmes dont la résolution mathématique exacte est impossible vu leur complexité numérique. On est donc conduit à chercher des solutions approchées par des algorithmes numériques que l’on programme sur ordinateur. L’analyse numérique a pour objet de construire et d’étudier ces méthodes de résolution.
1. Exemple motivant.
2. Position du problème.
3. Rappels et complément sur l’analyse matricielle.
4. Conditionnement.
5. Méthode de Gauss.
6. Décomposition LU d’une matrice.
7. Méthode de Cholesky.
1. Généralités sur les méthodes itératives classiques pour les systèmes linéaires.
2. Méthode de Jacobi.
3. Méthode de Gauss-Seidel.
4. Méthode de relaxation.
5. Etude de l’erreur d’approximation.
1. Exemple motivant.
2. Méthode QR.
– La décomposition QR :
– Par le procédé d’orthonormalisation de Gram-Shmidt.
– Par la méthode de House-Holder.
– Méthode QR pour le calcul des valeurs propres.
3. Méthode de Jacobi.
4. Méthode des puissances itérées.
1. Exemple motivant.
2. Méthode de Dichotomie.
3. Méthodes du point fixe.
4. Méthode de Newton.
1. Exemple motivant.
2. Interpolation de Lagrange.
3. Estimation de l’erreur d’interpolation de Lagrange.
1. Exemple motivant.
2. Méthode générale (formules de quadrature).
3. Formules de quadrature de Newton-Cotes :
– Simples.
– Composites.
4. Etude de l’erreur
1. Exemple motivant.
2. Généralités et définitions.
3. Méthodes numériques par pas :
– Méthode d’Euler.
– Méthode de Taylor d’ordre p.
– Méthode de Range-Kutta d’ordre 2.
– Méthode de Range-Kutta d’ordre 4.
4. Etude de l’erreur.
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